フーリエ級数とは、ある周期関数 f(x) があったとすると、その f(x) が sin, cos を用いて
と書けるというものである。
ここでは、sin, cos を実際に足していくことにより、矩形波が再現される様子を見てみよう。
矩形波とは、
のようなものが、x = -∞ から x = ∞ まで繰り返されているものである。
これは、f(x + 2π) = f(x) を満たすので、周期 2π の周期関数である。
したがって、フーリエ級数で表せる。
実際に、この関数をフーリエ級数に展開するのは演習などでやったことがあるはずで、その結果は、
のようになる。
では、この式を第一項目から具体的に足していくとどのようなことになるのか、見てみよう。
赤 + 水色 = 黄緑
画像をクリックすると、次の項を足し合わせます。
どうだろうか?
たった10個程度の sin を足しただけでだいぶ元の矩形波に近くなったように見えるだろう。
さて、では第1項から第10項までの和を見てみよう。
これだけでもだいぶ矩形波の形っぽくなっている。
11項から100項までの和を見てみよう。
矩形部分への寄与はあまりないみたいだ。
でも、なんかはじっこのほうでおかしな挙動を見せている。
そう、これぞGibbs現象。