電磁気学演習 4-2-d
誘電率 ε1, ε2 の半無限の誘電体
xy 面を境界に接している(z < 0 : ε2, z > 0 : ε1)。
点A(0,0,d) に点電荷 q を置いたとき境界面での分極表面電荷密度を次の順序で求めよ。
(誘電体での鏡像法)
1.
1.
鏡像電荷 q′ を点A′ (0,0,-d)に置き z > 0 の領域での任意の電位
Φ(ρ,φ,z) を ρ, z の関数(方位角対称性)として求めよ。
(誘電体 2を取り去り誘電体 1が全空間を満たしているとする。)
z < 0 では真電荷は存在しないので A点に q″ の電荷が存在するとして電位を求める。
(全空間を誘電体 2が満たしていると考える。)
2.
境界条件から q′, q″ を ε1, ε2, q を用いて表せ。
3.
誘電体 1, 2中の分極を求め表面電荷密度を求めよ。また電気力線の概形を書け。
この問題は、誘電体での鏡像法(電気映像法)を用いて解くことができる。
1. z > 0 での様子を考えるために、全空間を ε1 が満たしていると考えて鏡像電荷 q′ を置く。(fig.2)
2. z < 0 での振る舞いを考えるために、全空間を ε2 が満たしていると考えて鏡像電荷 q″ を置く。(fig.3)
3. 1. と 2. の結果から、すべての z についての様子がわかる。
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| fig.1 | fig.2 | fig.3 |
実際に電気力線を描いてみた。(mathematica のソース)
画像中に出てくる数値は ε1/ε2 の値である。ε1> ε0 のときには、真電荷 +q の周りに誘起された電荷が生じているはずである。
この画像では表現されていない。
電気力線が境界面で連続にならないが、これは問題ないか??
また ε1 ε2 の値で分けてみる。PDFも作ってみました。
1. ε2 → ∞
2. ε1 < ε2
3. ε1 = ε2
4. ε1 > ε2
